À quoi sert la forme canonique d'une fonction polynôme de second degré ?

Bonjour Florian, la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré correspond à une autre façon d'écrire un polynôme du second degré. Habituellement, on l'écrit sous la forme P(x) = ax2 + bx + c. Mais on peut aussi l'écrire sous la forme d'une expression au carrée + un nombre, et en développant cette expression, retrouver la même expression. Ainsi, les mathématiciens ont réussi à prouver que P(x) = a(x-A)2 + B, avec A = -b/2a et B = - (b2 - 4ac) / 4a. Par exemple, imaginons que tu as le polynôme P(x) = x² - 4x + 2. Tu as donc a = 1, b = -4, et c = 2. Tu peux alors déterminer A = -(-4) / (2*1) = 4 / 2 = 2 et B = - ( (-4)2 - 4*1*2 ) / (4*1) = - ( 16 - 8 ) / 4 = - 8 / 4 = - 2. Tu peux donc écrire que P(x) = 1(x - 2)2 + (-2). Vérifions en développant : P(x) = (x-2)2 + (-2) = x2 - 2*x*2 + 2x2 - 2 = x2 - 4x + 4 - 2 = x2 - 4x + 2, donc tu retrouves bien l'expression de départ! Maintenant, à quoi sert tout cela ? Quand tu écris ton polynôme sous la forme P(x) = a(x-A)2 + B, cela te permet de trouver tout de suite pour quelle valeur de x ton polynôme est à son maximum (si a < 0) ou à son minimum (si a > 0) => ce sera en x = A ! Donc si on reprend l'exemple précédent, pour P(x) = x² - 4x + 2, tu sais que le minimum sera atteint en x = 2 ! => Cette information est très précieuse, car c'est souvent de cette information dont on a besoin pour connaître la valeur pour laquelle on atteint une situation "optimale" (soit un minimum, soit un maximum) Surtout qu'en connaissant cette valeur, tu peux en déduire directement quelle est la valeur du minimum ou du maximum, puisqu'il te suffira de calculer P(A) ! Si on reprend l'exemple précédent, tu sauras que la valeur minimum est P(2) = 2*2 + 4*2 + 2 = 4 + 8 + 2 = 14. J'espère avoir pu t'aider à mieux comprendre comment on passe de l'un à l'autre, et à quoi ça sert. N'hésite pas à me contacter si besoin pour que je puisse te présenter tout cela avec des dessins, et qu'on puisse en discuter en direct. A bientôt! :-)