Comment résoudre f'(x) = f(-x) ?

Bonjour Nadine, Si j'ai bien compris, il s'agit de trouver toutes les fonctions f dérivables (on va dire sur IR) telles que pour tout x de IR, on ait : f'(x) = f(-x) Ce problème peut se ramener à une équation différentielle du second ordre immédiate à résoudre. * Supposons d'abord qu'il existe une fonction f solution du problème (c'est par exemple le cas de la fonction nulle). Comme f est dérivable sur IR, la fonction g : x ------>f(-x) est aussi dérivable par composition et pour tout réel x, on a : g'(x) = -f'(-x). Par hypothèse (f'(x) = f(-x)), on a alors f' = g. Donc la fonction dérivée f' est dérivable sur IR. En dérivant cette dernière égalité, on obtient alors pour tout x de IR : f''(x) = g'(x) = - f'(-x). Or pour tout x de IR, on a f'(x) = f(-x) et en remplaçant x par -x, cela donne f'(-x) = f(x). On en déduit finalement que pour tout réel x : f''(x) = - f'(-x) = -f(x) ; c'est-à-dire f''(x) +f(x)=0. La fonction f est donc une solution de l'équation différentielle du second ordre : (E) : y" +y =0 On est alors amené à résoudre cette dernière équation différentielle en appliquant le théorème de structure certainement vu en cours : ---> L'équation caractéristique est r^2 +1 =0 et a pour racines complexes r1= -i et r2=i. Les solutions de l'équation (E) sont donc les fonctions y : IR------->IR définies par y(x) = Acos(x) + Bsin(x). Comme la fonction f cherchée est une solution de (E), on en déduit qu'il existe deux réels A et B tels que : f(x) = Acos(x) + Bsin(x). ----> On doit enfin regarder la réciproque ; c'est-à-dire voir si une telle fonction est bien solution du problème initial ; c'est-à-dire si on a bien f'(x) = f(-x). Comme pour tout x de IR, f(x) = Acos(x) + Bsin(x), on a immédiatement : f'(x) = -Asin(x) +Bcos(x) et f(-x) = Acos(x) - Bsin(x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. On doit donc avoir pour tout réel x, l'égalité : -Asin(x) +Bcos(x) = Acos(x) - Bsin(x) ; c'est-à-dire par simple transfert : (A-B)cos(x) = (B-A)sin(x) pour tout réel x. En prenant x = 0 par exemple ou x = pi/2, on voit vite que A -B=0 ; c'est-à-dire que A = B. On a alors f(x) = Acos(x) + Bsin(x) = A[cos(x) + sin(x)] et cette fois-ci on a bien f'(x) = f(-x). Conclusion : Les fonctions f vérifiant l'équation f'(x) = f(-x) sont les fonctions définies sur IR par : f(x) = A[cos(x) + sin(x)], où A est une constante réelle. Voilà Nadine, je vous remercie pour votre beau exercice. N'hésitez pas à me dire si quelque chose n'est pas claire ou si vous avez d'autres question. Je souhaite de très bonnes fêtes de fin d'année à tous les lecteurs et à toute l'équipe de VosCours.