Fiche de révisions Bac Maths : Les dérivées à absolument connaitre pour le Bac
Introduction aux dérivées
Pour réussir au Bac de Mathématiques, il faut être capable d'effectuer différentes manipulations avec les fonctions telles que les dérivées et les dérivées secondes (dérivée d'une dérivée). Dériver permet de nous renseigner plusieurs informations sur une fonction.
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La dérivée : Un outil essentiel pour l'étude des fonctions
Le signe de la dérivée nous renseigne sur les variations de la fonction. Par exemple, lorsqu'on dérive une fonction, le signe de la dérivée nous renseigne sur les variations de la fonction :
- Si la dérivée f' est positive sur un intervalle I, alors la fonction f est croissante sur ce même intervalle.
- En revanche, si f' est négative sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur ce même intervalle.
La dérivée seconde : Analyse de la convexité
Les dérivées nous permettent aussi d'étudier la convexité d'une fonction. Pour cela, on effectue une dérivée seconde, c'est-à-dire qu'on dérive f'(x). La dérivée seconde se note f''(x). Grâce à la dérivée seconde d'une fonction f, on peut connaitre la convexité de la fonction. Par exemple :
- Si f'' est positive sur un intervalle I alors la fonction f est convexe sur ce même intervalle.
- À l'inverse, si f'' est négative sur un intervalle I alors la fonction f est concave sur ce même intervalle.
L'importance de maîtriser les dérivées pour le Bac
La dérivée est donc un outil très puissant qu'il faut à tout prix maîtriser pour le bac. Heureusement, les formules sont là pour vous aider. Il suffit donc juste de repérer quel type de fonction, il s'agit d'appliquer la formule qui correspond et de bien détailler les étapes pour éviter les erreurs de calcul (sinon tout est faux et c'est dommage).
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Astuce pour vérifier vos dérivées
Petite astuce pour vérifier si votre dérivée est juste. À l'aide de la calculatrice, tracez dans le graphe la courbe de votre fonction f ainsi que celle de votre fonction dérivée f'.
Vérifiez ensuite que lorsque la courbe dérivée f' est au-dessus de l'axe des abscisses (= quand elle est positive) la courbe de votre fonction f est croissante et que lorsque la courbe dérivée f' est en dessous de l'axe des abscisses (= quand elle est négative) la courbe de votre fonction f est décroissante.
Si ces paramètres sont respectés, alors félicitations, vous avez dérivé comme un chef !
Formules indispensables des dérivées pour le Bac
Voici les formules indispensables à connaître pour le Bac. Réciproquement, les primitives de ces fonctions sont également à connaître.
| Fonction f(x)= | Dérivée f'(x)= |
| C (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | nxn-1 |
| 1/x | -1/x2 |
| 1/xn | -1/xn+1 |
| √x | 1/2√x |
| ln(x) | 1/x |
| ex | ex |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| uv | u'v+uv' |
| u/v | u'v-uv'/v2 |
| 1/u | -u'/u2 |
| un | nu'un-1 |
| ln(u) | u'/u |
| eu | u'eu |
À noter : Pour ceux qui ont des difficultés à apprendre toutes ces formules, il est possible d'utiliser une autre méthode pour dériver les fonctions, la méthode des fonctions composées.
La formule est la suivante : [u(v(x))]' =u'(v(x))×v'(x)
Lien vers la vidéo d'Yvan Monka qui explique très bien cela : https://www.youtube.com/watch?v=lwcFgnbs0Ew
