Comment résoudre un système d'équations linéaires ?
J'aimeLes systèmes linéaires sont un outil essentiel en maths et en physique. Nous verrons aujourd'hui les différentes méthodes de résolution avec certains exemples pour les illustrer.
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations de la forme 𝑎₁𝑥₁+𝑎₂𝑥₂+…+𝑎ₚ𝑥ₚ=𝑏 où 𝑎₁, 𝑎₂,…, 𝑎ₚ, 𝑏 sont des scalaires appartenant à un ensemble K (ℝ ou ℂ), et 𝑥₁, 𝑥₂,…, 𝑥ₚ sont les variables inconnues. Il existe plusieurs méthodes de résolutions que nous aborderons maintenant.
Méthodes de Résolution des Systèmes Linéaires
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système linéaire :
- Résolution par substitution : c’est la méthode enseignée au collège. Elle consiste à isoler une variable dans une équation puis à la substituer dans une autre pour résoudre progressivement les inconnues.
Exemple:
3𝑥+2𝑦=8
𝑥−𝑦=1
On isole 𝑥 dans la deuxième équation : 𝑥=𝑦+1
On substitue cette expression de 𝑥 dans la première équation : 3(𝑦+1)+2𝑦=8
On simplifie et on obtient x=2 et y=1
- Résolution par élimination : Pour résoudre le système, on additionne ou on soustrait les équations pour éliminer une variable. Si une des équations contient un terme qui s’annule par addition ou soustraction des équations, cette méthode sert à diminuer le nombre de variables dans une équation et donc à faciliter le calcul.
Exemple :
6x+4y=20
6x−3y=3
On soustrait les deux équations pour obtenir x=2 et y=2
Ces deux méthodes ne sont plus efficaces si le système contient plus que 3 équations à 3 inconnues. Elles sont utilisées principalement au collège pour résoudre des problèmes simples, des équations a 2 inconnus.
- Méthode du Pivot de Gauss : elle consiste à écrire les coefficients des variables dans une matrice, les variables à trouver dans une autre et d’échelonner la matrice obtenue en effectuant des opérations élémentaires. Ensuite, le système est résolu par substitution en partant de la dernière ligne et en remontant vers la première.(Les opérations élémentaires ne changent pas l'ensemble des solutions)
- Par la méthode graphique : les équations d'un système peuvent être visualisées comme des droites et ainsi la solution est l'intersection de ces droites en un point.
- Règle de Cramer : Dans le cas où le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, le système est dit être un système de Cramer.
Dans ce cas, il existe une unique solution, qui peut être calculée en utilisant la règle de Cramer donnée par :
X = (x₁ x₂ . . . xₙ ) où xi = ∆i / ∆ avec ∆ = |A|
Cette méthode est très utilisée en physique pour résoudre les systèmes électriques à plusieurs inconnus.
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Quelques propriétés des systèmes linéaires
- Un système linéaire peut avoir une unique solution, une infinité de solutions ou aucune solution.
- Un système est compatible s'il a au moins une solution, sinon il est incompatible.
- Un système homogène est celui où le vecteur des termes constants est nul.
Exemple : {3x+y=0 4x+9y=0 est un système homogene
Conclusion
Voici les méthodes principales de résolutions de systèmes linéaires, il suffit maintenant de s'entrainer pour maitriser les méthodes et pouvoir résoudre les systèmes de manière plus rapide.