Cours de maths terminale : le raisonnement par récurrence
J'aimeCet article s'adresse aux élèves en terminale et qui suivent la spécialité mathématiques. Il est consacré au raisonnement par récurrence qui intervient lorsqu'il s'agit de montrer qu'une certaine propriété P(n) dépendant d'un entier naturel n≥n0, est vraie quelle que soit la valeur de cet entier naturel n. Voici un exemple d'une telle propriété :
P(n) : " l'entier n(n+1)(2n+1) est un multiple de 6".
Un petit exercice : On pose pour tout entier naturel n, E(n) = n(n+1)(2n+1).
Prouver que : E(n+1) = E(n) + 6(n+1)2.
En déduire que si l'entier naturel E(n) est un multiple de 6, alors il en est de même del'entier naturel E(n+1).
J'ai voulu écrire cet article pour aider les élèves, d'une part, à comprendre le raisonnement par récurrence et d'autre par à leur donner des outils et méthodes nécessaires pour le mener à bien, tant au niveau de la rédaction qu'au niveau des techniques.
L'article comporte deux parties intitulées POINT-N°0 et POINT-N°1 et illustrées chacune par une série d'exercices corrigés mettant directement en œuvre les méthodes présentées et expliquées :
- Le POINT-N°0 : est consacré à la mise en place d'un travail préliminaire sur des prérequis. Il s'agit surtout d'un rappel sur les inégalités et plus particulièrement les règles relatives aux encardrements. En particulier, on explique comment encadrer une expression comportant une somme. Ce travail est nécessaire dans la mesure où l'élève sera souvent amené à prouver des inégalités.
Rappelons aussi au passage que si A et B sont deux nombres réels, pour montrer que A ≤ B, il suffit de calculer la différence A - B (ou B - A) puis de prouver que A - B ≤0 (ou que B - A≥0).
On introduit également la notion de "propriété héréditaire" et rappelons que pour montrer qu'une propriété P(n) dépendant d'un entier naturel n est héréditaire, il faut prouver que si P(n) est vraie pour un certain entier naturel n, alors P(n+1) est vraie. Dans la pratique, on va alors supposer que P(n) est vraie puis montrer alors que P(n+1) est vraie.
Ce point est suivi d'une application intitulée APPLICATION-N°1 qui est une série d'exercices corrigés, mettant en œuvre les méthodes présentées dans ce point et surtout un entraînement pour montrer l'hérédité.
- Le POINT-N°1 : est consacré à la présentation du raisonnement par récurrence. Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier naturel n≥n0, où n0 ∊ ℕ.
L'objectif du raisonnement par récurrence est de montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n≥n0. Il n'est alors pas question de ne montrer cela que pour quelques premiers entiers n≥n0 et encore moins, à chercher de vérifier la propriété pour chacun de ces entiers individuellement (car il y en a une infinité).
Le raisonnement par récurrence consiste à vérifier que la propriété P(n) est vraie au rang initial n=n0 (c'est-à-dire que P(n0) est vraie) et qu'elle est héréditaire.
Ce point est suivi d'une application intitulée APPLICATION-N°2 qui est une série d'exercices corrigés, mettant en œuvre le raisonnement par récurrence.
Signalons enfin que le raisonnement par récurrence a une importance capitale dans le cadre de l'étude des suites numériques.
Je souhaite une bonne lecture aux élèves !
