Comment factoriser un polynôme ?
1J'aimeSur ce cours de maths, nous allons voir ensemble comment factoriser un polynôme.
Pour cela, il suffit de trouver une racine, c'est-à-dire pour quelle valeur ce polynôme s'annule. Ensuite, nous pourrons factoriser avec celle-ci comme dans l'exemple ci-dessous :
P(x)=x² + 2x + 1 est un polynôme du second degré avec comme racine assez évidente -1. Vérifions : (-1)² +2*(-1) +1=1-2+1= ; une fois qu'on a cette racine, on factorise par (x-la racine). Ici, cela nous donne (x+1)*Q(x)=x² + 2x + 1 (a).
Q a également la forme d'un polynôme mais cette fois, d'un degré inférieur à P ; soit dans notre exemple, il est de degré 1, on peut donc écrire Q(x)=ax+b avec a et b à déterminer avec l'égalité (a). Ici, on obtient Q(x)=x+1.
Finalement P(x)=x² +2x + 1 =(x+1)² (qui est en fait une identité remarquable).
En résumant de manière plus formelle, on a en réalité P qui est un polynôme de degré n et a une racine de P. On peut alors écrire P(x)=(x-n)*Q(x) avec Q un polynôme de degrés n-1. En réitérant cette opération sur Q le nombre de fois possibles, on obtiendra une forme factorisée de P telle que P(x)=(x-n1)(x-n2).....(x-ni)......(x-nn) avec i dans [1;n] et les ni comme racines de P. Ainsi votre polynôme est factorisé.
Désormais, parlons du cas où nous avons des racines multiples, c'est-à-dire quand on obtient finalement (si on utilise la méthode proposée ci-dessus) n1=n2 ou n3 ou ni. Ce qu'on appelle l'ordre de multiplicité d'une racine est le nombre de fois que cette racine apparait dans le polynôme factorisé. Par exemple, si P=(x-k)², k est racine double de P, ou racine de multiplicité 2. Une fois que l'on a déterminé une racine, on peut déterminer son ordre de multiplicité en regardant si elle annule également ses dérivées. Si k est racine de multiplicité n du polynôme P, alors on a P(k)=0; P'(k)=0;P''(k)=0;..... et ce jusqu'à la dérivée n-1 de P.
Reprenons le premier exemple pour illustrer :
P(x)=x²+2x+1=(x+1)² : cela voudrait dire que -1 annule P et P'. Vérifions P' puisque P a déjà été vérifié. Dérivons P : P'(x)=2x+2 puis évaluons P' en -1 : P'(-1)= 2*(-1)+2=-2+2=0.
Effectivement -1 annule bien P' également.
