Comment avoir de la logique en mathématiques ?
J'aimeLa logique mathématique n'est pas quelque chose qui relève du génie ou du don mais simplement de méthodes et de rigueur.
Comment démontrer qu'une proposition est vraie ? Voilà tout le but de la logique mathématiques. Mais en vérité, il suffit de travailler par implication. À partir de notre hypothèse de départ, on arrive à un nouveau résultat qu'on pourra utiliser à nouveau comme base pour chercher notre point d'arrivée. Il est beaucoup plus simple de montrer qu'une proposition est fausse. Pour montrer qu'une proposition est fausse, il suffit de trouver un contrexemple.
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Cependant, je vous propose de (re)découvrir une autre méthode d'arrive à un résultat : la contraposée.
Par définition, si on considère deux propositions p et q, la contraposée de la proposition p implique q (noté p => q) est la proposition non q implique non p (!q => !p)
Les propositions p et q peuvent ainsi être vraies ou fausses. On appelle valeur de vérité le caractère "vrai" d'une proposition. Observons maintenant la table de vérité de la proposition "p implique q" et prenons un exemple pour l'illustrer.
Prenons pour proposition p "n et m sont deux nombres premiers différents" et pour q "m et n sont premiers entre eux".
La proposition p implique q devient alors "Si n et m sont deux nombres premiers différents, alors m et n sont premiers entre eux."
Travaillons d'abord par implication. On considère donc p vraie, càd que n est un nombre premier, et que m est un nombre premier différent de n et nous devons montrer que q est vraie donc que m et n sont premiers entre eux, càd qu'il n'existe aucun nombre en commun dans les décompositions en nombres premiers de m et de n.
Comme n et m sont premiers, la décomposition en nombres premiers de n et de m est déjà faite. Comme n et m sont différents et premiers, il n'existe aucun nombre entier p tel que m = np ou n = mp. Ainsi, comme n et m sont différents et premiers, m et n sont premiers entre eux.
Pour pouvoir démontrer que p => q, on peut aussi démontrer la contraposée de p => q, qui est "Si m et n ne sont pas premiers entre eux, alors m et n ne sont pas deux nombres entiers premiers et différents". !(p & q) = (!p) || (!q). Ainsi nous devons démontrer que "Si m et n ne sont pas premiers entre eux alors m et n sont deux nombres entiers tels qu'ils sont non premiers, ou égaux."
Si m et n ne sont pas premiers entre eux, il existe un nombre en commun dans leur décomposition en nombres premiers.
On envisage que m et n soient premiers, dans ce cas, m et n sont premiers mais ont un diviseur commun qui n'est pas 1. Ils sont donc égaux. Dans le cas contraire, m et n sont non premiers.
Ainsi m et n sont deux nombres entiers non premiers ou égaux, ce qui valide notre contraposée.
Grâce à cette logique on a détourné le premier problème qui nous était posé pour nous en poser un nouveau, différent à résoudre. Mais comment ça marche ?
Observons les tables de vérité de p, q p => q, q => p (la réciproque de p => q), !q => !p (la contraposée de p => q), et p <=> q (p est équivalente à q).
On remarque que p => q et !q => !p sont équivalentes, càd que lorsque p et q ont une valeur de vérité donnée, p => q et !q => !p ont la même valeur de vérité. C'est pour cette raison que l'on peut essayer de montrer p => q en montrant que !q => !p.
Attention à ne pas confondre la réciproque de p => q (q => p) qui n'a pas la même table de vérité que p => q. Ainsi, on ne peut pas montrer que si "m et n sont premiers entre eux, alors n et m sont deux nombres premiers différents". Il suffit d'ailleurs de prendre en contrexemple les nombres 4 et 9 qui sont premiers entre eux mais qui ne sont pas premiers.
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Enfin, pour finir cette explication je vous invite à regarder la table de la proposition p => q et q => p. On remarque que cette proposition est vraie lorsque p et q ont la même valeur de vérité. C'est ce qu'on appelle l'équivalence de deux propositions logiques. Ainsi une méthode pour montrer que deux propositions p et q sont équivalentes consiste à montrer que p=>q et que q=>p.