Le théorème de Thalès vu sous tous ses angles

En classe de 3e, difficile d'échapper au théorème de Thalès : il apparaît dans presque tous les sujets de brevet et sert de base à de nombreux exercices de géométrie. Pourtant, entre les triangles emboîtés, la version papillon et sa réciproque, il est facile de s'y perdre sans une explication claire et structurée. 

Dans ce cours de maths, nous verrons sa formule, ses différentes configurations, sa réciproque, ainsi que des exemples concrets et les erreurs à éviter. 

Table des matières

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Le théorème de Thalès permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle à partir des proportions d'un triangle semblable. Il s'applique dès que deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, formant ainsi deux triangles semblables. Nous allons voir à quoi ce théorème sert, mais aussi comment l'utiliser pour calculer différentes longueurs dans ce cas particulier des triangles semblables.

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La formule du théorème de Thalès

Si (AE) et (AD) sont sécantes en A, et que (CB) et (ED) sont parallèles, alors on peut écrire l'égalité suivante :

AC/AE = AB/AD = CB/ED

Il y a donc proportionnalité entre le triangle ABC et le triangle ADE : ils sont donc semblables.

Les configurations du théorème de Thalès (triangle emboîté et papillon)

Après avoir vu la version emboîtée, voyons la version en papillon : la formule précédente s'applique de la même manière, les côtés de même couleur étant proportionnels.

On peut donc dire que si (CE) et (DB) sont sécantes en A, et que (CB) et (ED) sont parallèles, alors :

AC/AE = AB/AD = CB/ED

Il y a donc proportionnalité entre le triangle ABC et le triangle ADE : ils sont donc semblables.

Comment appliquer le théorème de Thalès étape par étape

Pour appliquer ce théorème, il faut tout d'abord :

  • Prouver que (CB) et (ED) sont parallèles,
  • Puis vérifier que A, C, E d'une part, et A, B, D d'autre part, sont alignés dans cet ordre.

Une fois ces deux conditions vérifiées, vous pourrez appliquer le théorème en toute confiance.

La réciproque du théorème de Thalès

Si (AE) et (AD) sont sécantes en A, et si l'égalité suivante est vraie (proportionnalité entre les deux triangles) :

AC/AE = AB/AD

alors les droites (CB) et (ED) sont parallèles. Cette réciproque du théorème de Thalès est particulièrement utile pour démontrer un parallélisme sans le mesurer directement.

Exemples de calculs avec le théorème de Thalès

Reprenons la figure vue précédemment. Nous cherchons la longueur AB, sachant que AC = 5, AE = 7 et AD = 6.

Les droites (CB) et (ED) sont parallèles. De plus, les points A, C, E sont alignés, ainsi que les points A, B, D, dans cet ordre.

D'après le théorème de Thalès :

AB/AD = AC/AE = CB/ED

On peut donc écrire :

5/7 = AB/6

Donc AB = 5 × 6/7 = 30/7, soit environ 4,29.

Erreurs fréquentes avec le théorème de Thalès

  1. Confondre les segments : ne pas confondre la longueur CE avec la longueur AE, cette confusion est l'une des erreurs les plus courantes chez les élèves de 3e.
  2. Oublier de vérifier le parallélisme : vérifiez systématiquement que (CB) et (ED) sont bien parallèles avant d'appliquer le théorème, sans cette condition, l'égalité des rapports ne tient plus.
  3. Mal identifier l'ordre des points alignés : les points A, C, E d'une part, et A, B, D d'autre part, doivent être alignés dans le même ordre, inverser cet ordre entraîne un mauvais rapport de proportionnalité.
  4. Confondre théorème et réciproque : le théorème de Thalès permet de calculer une longueur à partir d'un parallélisme connu, tandis que sa réciproque permet de démontrer un parallélisme à partir de longueurs connues, les deux ne s'utilisent pas dans le même sens.

Vous savez désormais tout sur le théorème de Thalès !

Ce théorème est très simple à apprendre et à utiliser une fois son objectif est bien compris. C'est l'un des piliers du programme de 3e, présent dans la quasi-totalité des sujets de brevet de fin d'année.

Si vous avez toujours des doutes concernant cette notion en géométrique, prenez un cours particulier de maths en ligne ou demandez à un professeur de vous aider sur ce sujet.

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Questions fréquentes sur le théorème de Thalès

➕ Quelle est la formule du théorème de Thalès ?

AC/AE = AB/AD = CB/ED.

➕ Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

Pour appliquer ce théorème, il faut d'abord prouver que (CB) et (ED) sont parallèles, puis que A, C, E et A, B, D sont alignés dans cet ordre.

➕ Qu'est-ce que la réciproque du théorème de Thalès ?

Si (AE) et (AD) sont sécantes en A et que AC/AE = AB/AD, alors les droites (CB) et (ED) sont parallèles.

➕ Quelle est la différence entre la configuration "triangle emboîté" et "papillon" ?

Les triangles emboîtés se superposent en forme de V, tandis que la configuration papillon se croise en son centre en forme de X. Les deux appliquent le théorème de Thalès.

➕ Comment vérifier que deux droites sont parallèles avec Thalès ?

Il faut que AC/AE = AB/AD, et que A, C, E soient alignés, ainsi que A, B, D.
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Rémi
Rémi Valaix
Professeur(e) de à Châtillon (Hauts-de-Seine), Bagneux (Hauts-de-Seine), Clamart, Fontenay-aux-Roses, Issy-les-Moulineaux, Malakoff, Montrouge, Vanves. Spécialisé(e) dans l'offre de cours cours à domicile, adaptés aux besoins individuels de chaque étudiant. Les formations que je propose sont conçues pour vous aider à atteindre vos objectifs et ambitions.Contacter
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