Le théorème de Pythagore : comprendre la formule et savoir l’utiliser

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus connus en mathématiques. On le découvre généralement au collège, dans le cadre d'un cours de maths, et il revient ensuite très régulièrement dans les exercices de géométrie.

La bonne nouvelle, c'est qu'une fois que l'on a compris dans quelles situations l'utiliser et comment identifier l'hypoténuse, les exercices deviennent assez méthodiques.

Voyons donc comment fonctionne le théorème de Pythagore, comment calculer une longueur et comment utiliser sa réciproque dans ce cours de maths.

Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore concerne uniquement les triangles rectangles.

Un triangle rectangle possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°.

Le côté situé en face de cet angle droit porte un nom particulier : l'hypoténuse. C'est également le côté le plus long du triangle.

Le théorème permet de relier les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Grâce à lui, lorsque l'on connaît deux longueurs, on peut généralement calculer la troisième.

La première chose à faire dans un exercice est donc toujours de se poser deux questions :

• Le triangle est-il rectangle,
• Quel côté est l'hypoténuse.

Si le triangle n'est pas rectangle, on ne peut pas appliquer directement le théorème de Pythagore.

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La formule du théorème de Pythagore

Dans un triangle ABC rectangle en A, le côté BC est l'hypoténuse puisqu'il se trouve en face de l'angle droit.

On peut alors écrire :

BC² = AB² + AC²

Autrement dit : carré de l'hypoténuse = carré du premier côté + carré du deuxième côté. C'est cette relation qu'il faut retenir.

Une erreur fréquente consiste à apprendre uniquement une formule avec des lettres comme a² + b² = c² sans savoir ce que représente chaque lettre. Il est beaucoup plus utile de comprendre que le terme isolé d'un côté de l'égalité correspond toujours à l'hypoténuse.

Démonstration du théorème de Pythagore

Il existe de nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore. Certaines utilisent des constructions géométriques assez élaborées.

Une manière intuitive de comprendre le théorème consiste à imaginer que l'on construit un carré sur chacun des trois côtés d'un triangle rectangle.

Le théorème affirme alors que la surface du carré construit sur l'hypoténuse est exactement égale à la somme des surfaces des deux carrés construits sur les deux autres côtés.

Si les côtés du triangle rectangle mesurent par exemple 3 cm, 4 cm et 5 cm, les aires des carrés correspondants valent :

Et l'on constate bien que 9 + 16 = 25. C'est cette égalité entre les surfaces qui explique la relation de Pythagore.

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Comment calculer une longueur avec le théorème de Pythagore ? Méthode étape par étape

Lorsque l'on rencontre un exercice utilisant Pythagore, je conseille de suivre toujours la même méthode.

Étape 1 : identifier le triangle rectangle

Il faut repérer l'angle droit et préciser en quel sommet se situe cet angle. Par exemple : « Le triangle ABC est rectangle en A. »

Étape 2 : identifier l'hypoténuse

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors l'hypoténuse est BC.

Étape 3 : écrire le théorème avec les bonnes lettres

On écrit : BC² = AB² + AC²

Il est préférable d'écrire cette relation avant de remplacer les lettres par les valeurs numériques.

Étape 4 : remplacer par les longueurs connues

On remplace ensuite les longueurs connues par leurs valeurs.

Étape 5 : effectuer les calculs

Selon la longueur recherchée, on additionne ou on soustrait les carrés.

Étape 6 : utiliser la racine carrée

Lorsque l'on obtient par exemple BC² = 100, on cherche BC et non BC². On calcule donc : BC = √100 = 10. Cette dernière étape est régulièrement oubliée.

La réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore

Ces deux notions sont souvent confondues.

La réciproque de Pythagore

La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle. On connaît les trois longueurs du triangle et on vérifie si : carré du plus grand côté = somme des carrés des deux autres côtés. Si l'égalité est vérifiée, alors le triangle est rectangle.

Par exemple, un triangle possède des côtés de longueurs 6 cm, 8 cm et 10 cm. Le plus grand côté mesure 10 cm.

On calcule : 10² = 100, et : 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux résultats sont égaux, le triangle est donc rectangle.

La contraposée de Pythagore

La contraposée sert au contraire à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. On effectue les mêmes calculs, mais si carré du plus grand côté ≠ somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.

Il faut donc retenir :

• Théorème de Pythagore : on sait que le triangle est rectangle et on cherche une longueur,
• Réciproque : on connaît les trois longueurs et on veut prouver que le triangle est rectangle,
• Contraposée : on connaît les trois longueurs et on veut prouver qu'il n'est pas rectangle.

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Exemples de calculs avec le théorème de Pythagore

Prenons un triangle ABC rectangle en A. On connaît AB = 6 cm et AC = 8 cm. On cherche BC.

Comme BC est l'hypoténuse : BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC = √100 = 10 cm.

Prenons maintenant un deuxième exemple. Le triangle DEF est rectangle en D. On connaît EF = 13 cm et DE = 5 cm. On cherche DF.

EF est l'hypoténuse. On écrit donc : EF² = DE² + DF², soit 13² = 5² + DF², donc 169 = 25 + DF², DF² = 144, DF = √144 = 12 cm.

On remarque ici une différence importante : lorsqu'on recherche l'hypoténuse, on additionne. Lorsqu'on recherche l'un des deux autres côtés, on doit généralement soustraire.

Erreurs fréquentes avec le théorème de Pythagore

La première erreur est d'utiliser Pythagore dans un triangle qui n'est pas rectangle. Le théorème ne fonctionne que dans un triangle rectangle.

La deuxième erreur est de mal identifier l'hypoténuse. Pour éviter cela, il faut toujours regarder quel côté se trouve en face de l'angle droit.

Une autre erreur fréquente consiste à écrire BC = AB² + AC² au lieu de BC² = AB² + AC².

Enfin, beaucoup d'élèves arrivent correctement jusqu'à BC² = 100 et écrivent ensuite BC = 100. Il faut penser à prendre la racine carrée : BC = √100 = 10.

Mon conseil est de ne pas essayer de faire toutes les étapes mentalement. Écrire proprement chaque ligne permet d'éviter beaucoup d'erreurs.

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Ce qu'il faut retenir du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est finalement assez simple lorsque l'on applique toujours la même méthode.

Avant de commencer un calcul, il faut vérifier que le triangle est rectangle, identifier l'hypoténuse et seulement ensuite écrire la relation de Pythagore.

Il faut également bien distinguer le théorème de sa réciproque : le premier permet principalement de calculer une longueur lorsque l'on sait que le triangle est rectangle, tandis que la réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.

Avec quelques exercices, et quelques cours de soutien en ligne via des cours de maths en ligne, ces différentes étapes deviennent rapidement automatiques.

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Exercices sur le théorème de Pythagore

Voici trois petits exercices pour s'entraîner.

Exercice 1

Un triangle ABC est rectangle en A, AB = 9 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.

Exercice 2

Un triangle DEF est rectangle en D, EF = 17 cm et DE = 8 cm. Calculer DF.

Exercice 3

Un triangle possède des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm. Déterminer s'il est rectangle.

Pour chaque exercice, pensez à commencer par identifier l'hypoténuse avant d'effectuer les calculs.

Questions fréquentes sur le théorème de Pythagore