Exercice de mathématiques pour les élèves du baccalauréat

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Nos profs de maths

Jérôme (1)10100

Harouna 1^er cours offert (3)9100

En attendant, voici un exercice pour vous entraîner. 

Exercice 1:

N est un nombre entier, on pose An=n^3+5n^2+7n+9 et Bn=n+2

1. a)  Montrer que pgcd(An,Bn)=pgcd(Bn,7).                                                                              b) En déduire les valeurs de pgcd(An,Bn).
   c) Trouver les valeurs de n pour que An, Bn soient premiers entre eux.
2. On considère l'équation des inconnus relatifs x et y :   A2 x-B2 y=29......(E)                            a) Montrer que si (x,y) est solution de l'équation (E) alors x=3[4].
   b) Trouver les solutions de l'équation (E).
3. a) En déduire les solutions de l'équation : 51x-4y=45...........(E').
   b) Trouver les couples (x,y) solutions de l'équation (E') tel que la valeur absolue de y-12x inférieure ou égale à 3.

Solution à l'exercice 1 :                 

1. a) On a An=(n^2+3n+1) Bn+7  donc pgcd(An,Bn)=pgcd(Bn,7).
 b) pgcd(An,Bn) appartient à l'ensemble {1;7}.                                                                 c) pgcd(An,Bn)=7 équivalent que   n+2=0[7] donc les valeurs de n sont tous les valeurs des entiers naturels sauf {7k+5,k un entier naturel}.

2. a) On a 51x-4y=29[4] c'est à dire 3x=1[4] donc x=3[4].
b) Les solutions (x,y)=(4k+3,51k+31) avec k un nombre relatif.

3. a) 51x-4y=45 équivalent que 51x-4(y+4)=29 donc les solutions sont (x,y)=(4k+3,51k+27) avec k un nombre relatif. 
b) La valeur absolue de y-12x inférieure ou égale à 3 équivalent que k supérieure ou égale à 2 et inférieure ou égale à 4 donc les couples sont (11,129), (19,231), (15,180).