Spé maths première : les fonctions polynômes du second degré

Vous retrouverez ci-dessous un cours de maths sur les polynômes du second degré ainsi qu'un exercice pratique. Ce type de cours s'adresse aux élèves de spé maths principalement.

Tout savoir sur les polynômes

1. Définition d’un polynôme 

Soit a un nombre réel non nul et 𝑛 un nombre entier naturel.

On appelle monôme de coefficient a et de degré 𝑛, toute expression de la forme 𝑎𝑥^𝑛, où 𝑥 est une variable réelle.

On appelle polynôme toute somme algébrique de monômes.

2. Propriété fondamentale

Tout polynôme non nul 𝑃(𝑥) peut s’écrire de façon unique sous la forme :

𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0, où n est un entier naturel et 𝑎0, 𝑎1,𝑎2,…, 𝑎 𝑛 sont des nombres réels tels que 𝑎𝑛≠0.

3. Degré d’un polynôme

Un polynôme écrit sous la forme 𝑃(𝑥)= 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0(𝑎𝑛≠0) est dit réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de 𝑥.

𝑛 est appelé degré de 𝑃. On le note : d°𝑃.

Pour tout nombre entier naturel 𝑘 compris entre 0 et 𝑛, 𝑎𝑘𝑥𝑘 est appelé terme de degré 𝑘.

𝑎𝑛,𝑎𝑛−1,𝑎𝑛−2,…, 𝑎0 sont appelés les coefficients de 𝑃.

Remarque : Lorsque 𝑎0= 𝑎1= 𝑎2=⋯=𝑎𝑛=0, 𝑃 est appelé polynôme nul.

4. Égalité de deux polynômes

Propriété :

Deux polynômes sont égaux si et seulement si : 

  • Ils ont même degré ;
  • Les coefficients des termes de même degré sont égaux.

5. Zéro d’un polynôme

Définition : On appelle zéro d’un polynôme 𝑃 tout nombre réel 𝖺 tel que :𝑃(𝖺)=0.

Remarque : Déterminer les zéros d’un polynôme 𝑃 revient à résoudre l’équation 𝑃(𝑥)=0.

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5. Somme et produit de deux polynômes

Définition : Somme de deux polynômes

On appelle somme de deux polynômes 𝑃 et 𝑄 le polynôme noté 𝑃+𝑄 défini par : (𝑃+𝑄)(𝑥)=𝑃(𝑥)+𝑄(𝑥).

Propriété : Soit Pet Q deux polynômes.

𝑑°(𝑃+𝑄) est inférieur ou égal au plus grand des nombres 𝑑°𝑃 et 𝑑°𝑄 (égal lorsque 𝑑°𝑃≠𝑑°𝑄).

On note 𝑑°(𝑃+𝑄)≤max (𝑑°𝑃;𝑑°𝑄).

Définition : Produit de polynômes

On appelle produit de deux polynômes 𝑃 et 𝑄 le polynôme noté 𝑃×𝑄 défini par : (𝑃×𝑄)(𝑥)=𝑃(𝑥)×𝑄(𝑥).

Remarques :

  • Si 𝑃(𝑥)=−1 alors 𝑃𝑄=(−1)𝑄 --> (−1)𝑄 est noté –𝑄 et est appelé l’opposé de 𝑄.
  • 𝑃−𝑄=𝑃+(−𝑄)

Propriété : Soit P et Q deux polynômes non nuls.

𝑑°(𝑃.𝑄)=𝑑°𝑃.𝑑°𝑄

7. Factorisation d’un polynôme

Définition : 

Un polynôme mis sous la forme d’un produit de polynômes de degrés supérieurs ou égaux à 1 est dit factorisé. 

NB : se référer aux produits remarquables.

Cours sur les fonctions polynômes du second degré

Forme canonique d’un polynôme du second degré. 

1. Forme canonique

Tout polynôme du second degré 𝑃(𝑥) tel que 𝑃(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠0 peut se mettre sous la forme : 𝑃(𝑥)=𝑎[(𝑥+𝛼)2+𝛽] où 𝖺 𝑒𝑡 𝛽 sont des nombres réels.

L’écriture 𝑎[(𝑥+𝛼)2+𝛽] de 𝑃(𝑥) est appelé forme canonique.

Cas général :

𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels avec 𝑎≠0  𝑃(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

2. Factorisation d’un polynôme du second degré

Soit 𝑃(𝑥)=𝑎[(𝑥+𝛼)2+𝛽] l’écriture de 𝑃(𝑥) sous la forme canonique.

Si 𝛽>0,alors 𝑃(𝑥) n’est pas factorisable et donc n’admet pas de zéro.

Si 𝛽<0, alors 𝑃(𝑥) est factorisable et admet deux zéros.

Si 𝛽=0,alors 𝑃(𝑥) admet un seul zéro (zéro double).

3. Étude du signe d’un polynôme du second degré

Signe de 𝒂𝒙 + 𝒃 (𝒂 ≠ 𝟎) 

Pour tous nombres réels :

𝑎 et 𝑏 tels que : 𝑎 ≠ 0, on a le tableau de signe suivant :

𝑎𝑥 + 𝑏       𝑆𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 − 𝑎        0          𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑎

Exemple d'exercice sur les fonctions polynômes de second degré

La coopérative scolaire d'un lycée utilise un terrain rectangulaire de 8 m sur 5 m pour produire des tomates.

Pour mieux organiser l’espace disponible, le proviseur du lycée demande que les côtés du terrain soient augmentés chacun d’une longueur identique, comme l’indique la figure ci-dessous, afin d’obtenir un terrain rectangulaire de 88 m².

Pour respecter les exigences du proviseur, les élèves de ta classe décident d’étudier les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles.

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