Fiche de révisions bac maths : La fonction exponentielle
J'aimeVoici un cours de maths de niveau terminale sur la fonction exponentielle.
Quelques caractéristiques de cette fonction pour commencer :
La fonction exponentielle peut être vu de deux moyens : la forme littérale et la forme graphique. Elle est définie de moins l'infini à plus l'infini et elle est toujours positive. Sa limite en moins l'infini est 0 et en plus l'infini est plus l'infini. Sa forme littérale se note ex. Elle permet de faire des calculs des fonctions exponentielles ou enlever des fonctions logarithmes népériens à une équation car exp(lnx)=x.
Attention : cela ne marche pas pour le logarithme décimal.
Les formules à connaitre sont :
- Pour un produit d'exponentielle : l’exponentielle de a+b est égal à l’exponentielle de a fois l’exponentielle de b; ea+b= ea*eb
- Pour une exponentielle sous forme de fraction : une fraction qui a une exponentielle de a peut être aussi noté exponentielle de -a; e-a= 1/ea
- Pour deux exponentielles sous fractions : une fraction d’exponentielle a sur exponentielle de b peut est noté aussi exponentielle de a-b; ea-b= ea/eb
- Pour une exponentielle à la puissance : l’exponentielle de na peut être noté aussi exponentielle de a à la puissance n cette formule est très fréquente lorsque que l’exponentielle a des parenthèses ; ena= (ea)n
On peut aussi avoir des combinaisons de formule comme, par exemple, une faction d'exponentielle à la puissance n. Sa primitive et sa dérivée sont les mêmes, sur le même ensemble de définition que l'exponentielle. L'exponentielle de 0 est 1 donc sa limite en 0 est 1. La valeur de e=2.718.
La forme graphique de la fonction exponentielle écrit par la lettre e croît très rapidement dans le temps et elle est définie de moins l'infini à plus l'infini. Elle est toujours positive. C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien (c'est-à-dire en symétrie axial par rapport à une droite proportionnelle). Donc pour x l'image sera ex .
Sur un tableau de signe, la primitive de l’exponentielle comme on a vu au-dessus est toujours positive. Cela veut dire que la fonction est croissante avec une limite en moins l’infini de 0 et en plus l’infini de plus l’infini. Si a est supérieur à b alors l'exponentielle de a sera supérieure à exponentielle de b et inversement.
La fonction exponentielle permet de faire des grands calculs en physique avec de grands chiffres et de grandes variations. Cela permet aussi qu'en biologie, on puisse calculer des activités enzymatiques, des réactions chimiques.
Si la fonction exponentielle est comprise, la fonction logarithme népérien sera plus simple car les formules sont le sens opposé aux formules des fonctions exponentielles.
Il faut juste faire attention : la fonction logarithme népérien a une dérivée et une primitive qui changent. Et son ensemble de définition aussi.
Ainsi les exponentielles ne sont pas à négliger dans les formations car elles servent aussi en statistiques.
Exemple :
- f(x) = e3x/ex
- f(x) = e3x-x
- f(x) = e2x
- f(x) = (ex)²
On ne peut pas parler d’exponentielle sans évoquer que l’exponentielle fait partie de toutes les fonctions de la forme an qui sont toujours positives et qui sont toujours définies entre moins l’infini et plus l’infini. Elle permet de ramener des grands chiffres de manière comparable afin de pouvoir mieux les manipuler et les exploiter dans des calculs.