Les suites géométriques

Les suites numériques occupent une place importante en mathématiques. Elles permettent de modéliser de nombreuses situations concrètes comme la croissance d’une population, l’évolution d’un capital placé à intérêts composés ou encore la décroissance radioactive. Parmi elles, la suite géométrique est particulièrement utile lorsqu’une quantité est multipliée par un même nombre à chaque étape. Voyons plus en détail que sont les suites géométriqeus dans ce cours de maths en ligne. 

Table des matières

 

Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?

Une suite géométrique est une suite de la forme : Un+1 = Un x q
ou de manière explicite Un = U0 x qn avec :
  •  n ∈ ℕ,
  • U0 le premier terme de la suite,
  • q la raison de la suite ( le nombre par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant ).

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Comment déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ?

Si q = 1 (Un) est constante
Si  q < 0 (Un) n'est ni décroissante ni croissante

 

Si U0 > 0

Si q >1  (Un) est strictement croissante
Si 0 < q < 1  (Un) est strictement décroissante

 

Si U0 < 0

Si q >1  (Un) est strictement décroissante
Si 0 < q < 1  (Un) est strictement croissante

La somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}u_{k}=u_{m}~{\frac {1-q^{n-m+1}}{1-q}}={\text{premier terme}}\times {\dfrac {1-{\text{raison}}^{\text{nombre de termes}}}{1-{\text{raison}}}}.}

si q différent de 1.

Comment calculer une suite géométrique ?

Pour calculer un terme d'une suite géométrique, il faut connaître : 

  • le terme U0 ou le terme Un+1
  • la raison q
  • le rang n 

Exemple : Soit une suite (Un) de raison q = 2 et de premier terme U0 = 3.

Alors  U5 = 3 x 25 = 96

Représentation graphique d'une suite géométrique

Si q > 1 Si 0 < q < 1 Si q = 1
     

Le cas particulier des suites arithmétiques et géométriques

La suite arithmético-géométrique est un cas particulier de ces deux types de suites : 

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=a\,u_{n}+b}  

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Les limites d’une suite géométrique

La limite dépend de la valeur de q ( avec U0 > 0) : 

q >1 

 (Un) tend vers +∞

q = 1

 (Un) vaut U0

q< −1 

 (Un) diverge

−1 < q < 1

 (Un) tend vers 0

Erreurs fréquentes à éviter au moment de calculer une suite géométrique

  • Confondre suite arithmétique et géométrique

  • Se tromper dans la formule de la somme

  • Oublier que la formule de somme ne fonctionne pas si q = 1

  • Mal interpréter le sens de variation lorsque q est négatif

Conclusion

La suite géométrique est un outil mathématique essentiel pour modéliser les phénomènes de croissance ou de décroissance proportionnelle. Elle repose sur une multiplication répétée par une constante appelée raison. 

Si vous avez toujours des difficultés à comprendre ce thème, pourquoi pas trouver un professeur particulier pour combler vos doutes ? En quelques cours seulement, vous pourrez résoudre vos difficultés.

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Questions fréquentes sur les suites géométriques

Quelle est la différence entre une suite numérique et une suite arithmétique ?

Toute suite arithmétique est une suite numérique, mais l'inverse est faux. 

Une suite arithmétique est une suite numérique où chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre r au terme précédent.

Quels sont les deux types de suites ?

Les deux types principaux étudiés sont :

  • Les suites arithmétiques

  • Les suites géométriques

Quelle est la différence entre une suite numérique et une suite géométrique ?

Toute suite géométrique est une suite numérique, mais l'inverse est faux. 

Une suite géométrique est une suite numérique où chaque terme est obtenu en multipliant le terme d'avant par un nombre q.

 

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Léna
Léna
Professeur(e) de Maths à Villuis, Baby, Fontaine-Fourches, Grisy-sur-Seine, Noyen-sur-Seine, Passy-sur-Seine, Villenauxe-la-Petite. Spécialisé(e) dans l'offre de cours cours à domicile et cours en ligne, adaptés aux besoins individuels de chaque étudiant. Les formations que je propose sont conçues pour vous aider à atteindre vos objectifs et ambitions.Contacter
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