Calculez une somme ressemblant à des termes consécutifs d'une suite géométrique

Yannis

Publié par Yannis

Cet article présente une technique utilisable aussi bien par les lycéens que les étudiants en classes préparatoires ou ceux en train de preparer le CAPES de mathématiques.

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L'utilisation d'une suite géométrique permet de conclure, néanmoins, il est intéressant de connaître un raisonnement global permettant de calculer ces deux types de sommes.

Au menu, vous aurez besoin de manipuler des sigmas dans les sommes. Le changement de variable permet de repositionner l'exposant de façon à faire apparaître une expression ressemblant à celle de départ que l'on veut calculer.

La technique n'est pas de calculer directement la somme, mais de trouver une équation dans laquelle la somme réapparaît. Ainsi, par des opérations mathématiques telles que l'addition et la soustraction, vous allez arriver à isoler ce qui vous convient.

Bien que la somme demandée ne possède pas a priori  de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants. On les retrouvera notamment dans beaucoup de sujets de concours pour les enseignants de maths ou pour les concours d'entrée dans les écoles d'ingénieurs

Ces sommes apparaissent aussi naturellement dans le calcul des probabilités et des statistiques, où les sommes apparaissent dans les moyennes (dites espérances) et les variances.

En mathématiques, on rappelle qu'une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un facteur constant appelé raison. Ici il est difficile de calculer la somme proposée car elle n'est pas en progression géométrique.

C'est pour cela que vous allez considérer une suite intermédiaire plus simple, elle-même géométrique, qui vous permettra de calculer ce qui est demandé.

 

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