Comment résoudre une équation du second degré étape par étape ?

Les équations du second degré sont souvent un moment important dans l'apprentissage des mathématiques au lycée. Elles peuvent paraître compliquées au premier abord, notamment à cause du discriminant et des différentes formules à retenir. Pourtant, avec une méthode claire et toujours appliquée dans le même ordre, la résolution d'une équation du second degré devient assez mécanique.

Dans cet article, nous reprenons simplement les différentes étapes permettant de résoudre une équation du second degré, ainsi que les inéquations associées. Si vous souhaitez consolider vos bases plus largement, des cours de maths en ligne peuvent aussi vous aider à progresser à votre rythme ainsi que résoudre tous vos doutes liés à cette concept.

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme :

ax² + bx + c = 0

avec a différent de 0.

Les lettres a, b et c correspondent simplement à des nombres.

Par exemple :

2x² + 3x - 5 = 0

est une équation du second degré avec :

• a = 2,
• b = 3,
• c = -5.

La première chose à faire lorsqu'on rencontre ce type d'équation est donc d'identifier correctement les trois coefficients. Cela paraît simple, mais beaucoup d'erreurs viennent justement de cette étape, notamment lorsque certains termes sont négatifs.

Par exemple, dans :

3x² - 4x - 7 = 0

on a :

• a = 3,
• b = -4,
• c = -7.

Il faut bien conserver les signes.

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Première étape : calculer le discriminant

Une fois les coefficients identifiés, on calcule ce qu'on appelle le discriminant, généralement noté avec la lettre grecque Δ, qui se lit « delta ».

Sa formule est :

Δ = b² - 4ac

Prenons l'équation suivante :

x² - 5x + 6 = 0

On identifie :

• a = 1,
• b = -5,
• c = 6.

On calcule alors :

Δ = (-5)² - 4 × 1 × 6

Δ = 25 - 24

Δ = 1

Une fois le discriminant calculé, trois situations sont possibles.

Cas numéro 1 : le discriminant est positif

Lorsque Δ est strictement supérieur à zéro, l'équation possède deux solutions réelles différentes.

Les deux solutions sont données par :

x₁ = (-b - √Δ) / 2a et x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Reprenons notre exemple : x² - 5x + 6 = 0, avec Δ = 1.

Nous obtenons donc :

x₁ = (5 - 1) / 2 = 2

x₂ = (5 + 1) / 2 = 3

Les solutions de l'équation sont donc 2 et 3.

On peut vérifier facilement le résultat :

Pour x = 2 : 2² - 5 × 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0.

Pour x = 3 : 3² - 5 × 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0.

Les deux valeurs sont donc bien solutions.

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Cas numéro 2 : le discriminant est égal à zéro

Lorsque Δ = 0, l'équation ne possède qu'une seule solution réelle, appelée solution double.

La formule devient alors :

x = -b / 2a

Prenons par exemple x² - 6x + 9 = 0, avec a = 1, b = -6, c = 9.

Δ = (-6)² - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0

Il existe donc une seule solution : x = 6 / 2 = 3.

Cas numéro 3 : le discriminant est négatif

Lorsque Δ est strictement inférieur à zéro, l'équation ne possède aucune solution réelle.

Prenons x² + x + 1 = 0, avec a = 1, b = 1, c = 1.

Δ = 1² - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3

Le discriminant étant négatif, l'équation n'a aucune solution dans l'ensemble des nombres réels. À ce niveau, il n'est généralement pas nécessaire d'aller plus loin.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Pour résoudre une inéquation du type ax² + bx + c > 0 (ou <, ≤, ≥ 0), on étudie le signe du trinôme ax² + bx + c à l'aide d'un tableau de signes.

Règle du signe du trinôme ax² + bx + c :

• Si Δ < 0, le trinôme est toujours du signe de a, quel que soit x.
• Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a sauf en x0 = -b/2a où il s'annule.
• Si Δ > 0, le trinôme est du signe de -a entre les racines x1 et x2 (x1 < x2), et du signe de a à l'extérieur.

Exemple : résoudre dans ℝ l'inéquation x² - 7x + 12 ≤ 0

On étudie le signe de x² - 7x + 12 : a = 1, b = -7, c = 12.

Δ = (-7)² - 4 × 1 × 12 = 49 - 48 = 1 > 0

x1 = (7 - 1) / 2 = 3 et x2 = (7 + 1) / 2 = 4

Le trinôme est négatif entre les racines (a = 1 > 0). Comme on cherche où il est ≤ 0, la solution est : S = [3 ; 4].

Exemple : résoudre dans ℝ l'inéquation 3x² - x + 1 > 0

a = 3, b = -1, c = 1. Δ = (-1)² - 4 × 3 × 1 = 1 - 12 = -11 < 0.

Comme Δ < 0, le trinôme garde toujours le signe de a = 3 > 0 : il est donc toujours positif. L'inéquation est vraie pour tout x, donc S = ] -∞ ; +∞ [.

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Somme et produit des solutions d'une équation du second degré

Lorsque l'équation ax² + bx + c = 0 admet deux solutions x1 et x2 (c'est-à-dire lorsque Δ > 0 ou Δ = 0), on dispose des relations suivantes, appelées relations entre coefficients et racines :

Somme : x1 + x2 = -b / a

Produit : x1 × x2 = c / a

Exemple de vérification avec x² - 7x + 12 = 0

On a x1 = 3 et x2 = 4, avec a = 1, b = -7, c = 12.

Somme : x1 + x2 = 3 + 4 = 7, et -b/a = 7. ✓

Produit : x1 × x2 = 3 × 4 = 12, et c/a = 12. ✓

Ces deux relations permettent de vérifier ou retrouver des solutions sans refaire tout le calcul du discriminant.

Une méthode simple à retenir

Pour éviter de se perdre, il est conseillé de toujours suivre exactement le même raisonnement :

• Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0,
• Identifier a, b et c,
• Calculer Δ = b² - 4ac,
• Observer le signe de Δ,
• Appliquer la formule correspondant au bon cas,
• Simplifier les résultats,
• Vérifier éventuellement les solutions obtenues.

Le fait de suivre systématiquement ces étapes permet d'éviter une grande partie des erreurs.

Les erreurs les plus fréquentes

La première erreur rencontrée régulièrement concerne les signes. Si b = -5, alors b² = (-5)² = 25, et non -25. Il faut donc penser aux parenthèses.

Une autre erreur fréquente consiste à oublier le 2a au dénominateur des formules donnant les solutions.

Enfin, certains élèves apprennent directement les formules sans commencer par identifier correctement a, b et c, ce qui augmente considérablement le risque d'erreur. Il est généralement plus efficace d'écrire clairement les trois coefficients avant de commencer les calculs.

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Peut-on parfois résoudre sans discriminant ?

Oui. Certaines équations peuvent être résolues beaucoup plus rapidement par factorisation.

Par exemple, x² - 5x + 6 = 0 peut également s'écrire (x - 2)(x - 3) = 0.

Un produit est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul. On obtient donc directement x - 2 = 0 ou x - 3 = 0, soit x = 2 ou x = 3.

Le discriminant reste cependant une méthode générale qui fonctionne pour toutes les équations du second degré sous la forme ax² + bx + c = 0.

Vous savez désormais résoudre des équations du second degré:

Les équations du second degré impressionnent parfois les élèves lorsqu'ils découvrent le chapitre, mais la difficulté vient surtout du nombre de nouvelles formules présentées en même temps.

Une fois la méthode comprise, la résolution suit presque toujours la même logique : identifier les coefficients, calculer le discriminant, puis choisir le bon cas. Il est également utile de savoir traiter les inéquations associées et de connaître les relations entre coefficients et racines pour vérifier ses résultats.

Le conseil est donc de ne pas chercher uniquement à mémoriser les formules, mais de comprendre à quoi correspond chaque étape et de s'entraîner régulièrement sur quelques équations différentes. Pour approfondir méthodiquement, des cours particuliers peuvent apporter un accompagnement personnalisé sur ce chapitre.

Avec quelques exercices, la méthode devient rapidement beaucoup plus naturelle.

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Exercices pratiques

Voici quelques exercices pour vous entraîner. Essayez de les résoudre avant de consulter la solution.

Exercice 1 : Résoudre dans ℝ l'équation x² + x + 1 = 0.

Solution : a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1 - 4 = -3 < 0. L'équation n'a aucune solution réelle.

Exercice 2 : Résoudre dans ℝ l'équation -2x² + x + 1 = 0.

Solution : a = -2, b = 1, c = 1. Δ = 1 + 8 = 9 > 0. x1 = -1/2 et x2 = 1.

Exercice 3 : Résoudre dans ℝ l'inéquation -2x² - 4x - 2 ≥ 0.

Solution : a = -2, b = -4, c = -2. Δ = 16 - 16 = 0, donc x0 = -1. Le trinôme est négatif partout sauf en x0 = -1, où il s'annule. S = { -1 }.

Exercice 4 : Pour l'équation x² - 5x + 6 = 0, vérifier la somme et le produit des solutions à l'aide des relations coefficients-racines.

Solution : x1 = 2, x2 = 3. Somme : 2 + 3 = 5 = -b/a. Produit : 2 × 3 = 6 = c/a.

Questions fréquentes sur la résolution d'une équation du second degré