Comment calculer l’étendue d’une série statistique ?

En statistique, l’étendue est un indicateur simple mais essentiel pour décrire une série de données. Elle permet d’avoir une première idée de la dispersion des valeurs, c’est-à-dire de la manière dont elles s’écartent les unes des autres. Dans ce petit cours de mathémathiques en ligne, nous allons voir ce qu’est l’étendue, comment la calculer et comment l’interpréter. 

Qu’est-ce que l’étendue d’une série en statistiques ?

L’étendue d’une série statistique correspond à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Elle permet donc de comprendre jusqu’où les données s’étalent.

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Concrètement, l’étendue donne une information sur la dispersion globale des données :

• Si l’étendue est petite, cela signifie que les valeurs sont proches les unes des autres : la série est peu dispersée.

• Si l’étendue est grande, cela signifie que les valeurs sont très éloignées : la série est plus dispersée.

L’étendue ne tient compte que des valeurs extrêmes (la plus petite et la plus grande). Elle ne renseigne pas sur la façon dont les autres données sont réparties entre ces deux extrêmes. Ainsi, une seule valeur très élevée ou très faible peut augmenter fortement l’étendue, même si la majorité des données est regroupée.

Exemple : les notes d’un élève

Supposons qu’un élève ait obtenu les notes suivantes au cours de l’année : 7 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16

• La plus petite note est 7

• La plus grande note est 16

• L’étendue de cette série est donc :   16 − 7 = 9

L’étendue est 9. Cela signifie que les notes de l’élève s’étendent sur un intervalle de 9 points, entre la plus faible et la plus élevée.

Autre exemple : les âges d’un groupe

Dans un groupe de personnes âgées de : 18 ; 19 ; 21 ; 22 ; 25 ans

• Âge minimum : 18 ans

• Âge maximum : 25 ans

• Etendue = 25 − 18 = 7

L’étendue ici est 7 ans, ce qui indique que les âges du groupe varient sur une période de 7 ans.

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Différence entre étendue et autres indicateurs statistiques

Quelle est la différence entre la médiane et l’étendue ?

L’étendue et la médiane sont deux indicateurs différents qui ne donnent pas la même information sur une série de données.

1. L’étendue

L’étendue mesure la dispersion des données. Elle correspond à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Elle indique l’amplitude totale des valeurs, mais ne tient compte que des valeurs extrêmes.

2. La médiane

La médiane en statistiques est un indicateur de position. C’est la valeur qui partage la série en deux parties égales lorsque les données sont rangées dans l’ordre croissant :

• 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane,

• 50 % des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Elle donne une information sur la valeur centrale de la série.

Exemple comparatif

Considérons la série suivante (notes) : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 20

Étendue :

• Valeur minimale : 5

• Valeur maximale : 20

• Nous calculons alors : 20−5=15

Médiane : Les valeurs sont déjà rangées. La valeur du milieu est 10.

Interprétation :

• L’étendue (15) montre que les notes sont très dispersées.

• La médiane (10) indique que la moitié des notes est inférieure ou égale à 10, et l’autre moitié supérieure ou égale à 10. 

Quelle est la différence entre la moyenne et l’étendue d’une série statistique ?

En statistiques, la moyenne et l’étendue sont deux indicateurs qui décrivent une série de données, mais ils n’ont pas le même rôle. L’un renseigne sur la valeur représentative de la série, l’autre sur sa dispersion.

1. La moyenne

La moyenne est un indicateur de tendance centrale.
Elle correspond à la somme de toutes les valeurs de la série, divisée par le nombre de  valeurs.

Elle donne une valeur “typique” ou représentative de la série.

2. L’étendue

L’étendue est un indicateur de dispersion. Elle correspond à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Elle indique l’écart total entre les valeurs extrêmes.

Exemple comparatif

Considérons la série suivante (notes) :
6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14

• Moyenne :

• Étendue :

  • Valeur minimale : 6

  • Valeur maximale : 14

                                              14−6=8

Interprétation :

• La moyenne (10) indique que le niveau global des notes est de 10.

• L’étendue (8) montre que les notes sont réparties sur un intervalle de 8 points.

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Les bases du calcul de l’étendue

1. La formule générale

La formule de l’étendue est la suivante :

Etendue = Valeur maximale − Valeur minimale 

Cette formule est valable pour toutes les séries statistiques, qu’elles soient présentées sous forme de liste, de tableau ou de graphique.

2. Repérer les valeurs extrêmes

Les valeurs extrêmes sont :

• la plus petite valeur de la série (minimum),

• la plus grande valeur de la série (maximum).

Pour les identifier facilement, il est souvent utile de :

• lire attentivement toutes les données,

• repérer les nombres les plus faibles et les plus élevés,

• vérifier qu’aucune valeur n’a été oubliée.

3. L’importance de trier les données

Lorsque la série n’est pas déjà organisée, il est fortement conseillé de trier les données dans l’ordre croissant.
Le tri permet de :

• repérer immédiatement le minimum et le maximum,

• éviter les erreurs de lecture,

• mieux comprendre la répartition des données.

Le tri n’est pas obligatoire pour le calcul, mais il le rend plus sûr et plus clair.

Exemple de calcul

Considérons la série suivante (tailles en centimètres) :
162 ; 175 ; 168 ; 180 ; 170

Étape 1 : trier la série
162 ; 168 ; 170 ; 175 ; 180

Étape 2 : repérer les valeurs extrêmes

• Valeur minimale : 162

• Valeur maximale : 180

Étape 3 : appliquer la formule

Etendue =180 − 162 = 18

L’étendue de cette série est donc 18 cm.

Méthodes : comment trouver l’étendue d’une série ?

Pour déterminer l’étendue d’une série statistique, la démarche dépend surtout de la présentation des données. Quelle que soit la méthode utilisée, le principe reste identique : identifier la plus petite valeur et la plus grande valeur, puis calculer leur différence.

Méthode 1 : Série donnée sous forme de liste

Lorsque les données sont présentées sous forme d’une liste de nombres, la méthode est directe.

Étapes :

1. Lire toutes les valeurs de la série

2. Trier les données dans l’ordre croissant (fortement conseillé)

3. Repérer la valeur minimale et la valeur maximale

4. Calculer l’étendue : Étendue = max - min

Cette méthode est la plus courante et la plus simple.

Méthode 2 : Série présentée dans un tableau (valeurs et effectifs)

Dans un tableau statistique, les données sont souvent accompagnées d’effectifs ou de fréquences.

Étapes :

1. Observer uniquement la colonne des valeurs

2. Identifier la plus petite et la plus grande valeur

3. Ignorer les effectifs pour le calcul de l’étendue

4. Appliquer la formule

L’étendue dépend uniquement des valeurs possibles, pas du nombre de fois où elles apparaissent.

Méthode 3 : Série représentée par un graphique

Lorsque la série est représentée par un diagramme (en bâtons, histogramme, droite graduée) :

Étapes :

1. Lire les valeurs indiquées sur l’axe horizontal

2. Repérer la valeur la plus petite et la plus grande représentées

3. Calculer la différence entre ces deux valeurs

Cette méthode demande une lecture attentive des axes et des graduations.

Méthode 4 : Série déjà ordonnée

Si la série est déjà classée dans l’ordre croissant ou décroissant :

Étapes :

1. Repérer directement la première valeur (minimum)

2. Repérer la dernière valeur (maximum)

3. Calculer l’étendue

Cette méthode est rapide et limite les risques d’erreur.

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Erreurs fréquentes à éviter en calculant l’étendue en statistiques

Le calcul de l’étendue est simple, mais certaines erreurs classiques peuvent conduire à un résultat faux. Voici les deux pièges les plus fréquents à éviter.

Confondre fréquence et valeur extrême

Dans une série statistique présentée sous forme de tableau, chaque valeur est souvent associée à un effectif ou à une fréquence.

Erreur courante : croire que la valeur la plus fréquente est la valeur maximale ou minimale.

Pour calculer l’étendue, on ne regarde que les valeurs de la série, jamais le nombre de fois où elles apparaissent.

Exemple :

• Valeur minimale : 4

• Valeur maximale : 15

Même si 4 apparaît plus souvent, l’étendue est : 15 − 4 = 11

Se tromper dans l’ordre de soustraction

Une autre erreur fréquente consiste à inverser l’ordre de la soustraction.

Erreur : min−max

Bonne formule : Étendue = max - min

Exemple :
Valeur minimale : 6
Valeur maximale : 18

• Mauvais calcul : 6 − 18 = −12 ❌

• Bon calcul : 18 − 6 = 12 ✅

L’étendue est toujours un nombre positif ou nul.

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Exercices pour s’entraîner à calculer l’étendue 

Exercice 1 : Série de notes

Série : 7 ; 12 ; 9 ; 15 ; 10

Question : Calculer l’étendue de cette série.

Correction :

• Trier la série : 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15

• Valeur minimale : 7

• Valeur maximale : 15

• Étendue = 15 − 7 = 8

Exercice 2 : Âges d’un groupe

Les âges (en années) d’un groupe sont : 14 ; 12 ; 16 ; 15 ; 13

Question : Calculer l’étendue.

Correction :

• Trier la série : 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16

• Valeur minimale : 12

• Valeur maximale : 16

• Étendue = 16 − 12 = 4

Exercice 3 : Tableau avec effectifs

Question : Calculer l’étendue.

Correction :

• Valeur minimale : 5

• Valeur maximale : 11

• Étendue = 11 − 5 = 6

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Questions fréquentes sur le calcul de l'étendue d’une série statistique